Cách chứng minh đẳng thức bằng phương pháp quy nạp toán học

1: Định nghĩa phương pháp quy nạp

Phương pháp quy nạp toán học là một phương pháp chứng minh toán học dùng để chứng minh một mệnh đề về bất kỳ tập hợp nào được xếp theo thứ tự. Thông thường nó được dùng để chứng minh mệnh đề áp dụng cho tập hợp tất cả các số tự nhiên.

Xem thêm chi tiết tại đây

Ví dụ 1. Chứng minh đẳng thức sau bằng phương pháp quy nạp

Với mọi số tự nhiên n ta luôn có :

1³ + 2³ + 3³ +…+ n³ = (1 + 2 + 3 +…+ n)²

Giải:

Với  n=1. Ta có: 1³ = 1²

Vậy đẳng thức trên đúng với n = 1

Với n = 2 ta có 1³ + 2³ = (1 + 2)²

Vậy đẳng thức trên đúng với n = 2

Giả sử đẳng thức đúng với n = k

Tức 1³ + 2³ + 3³ +…+ k³ = (1 + 2 + 3 +…+ k)² (*)

Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với n = k+1

Tức là ta sẽ chứng minh 1³ + 2³ + 3³ +…+ k³ + (k + 1)³ = (1 + 2 + 3 +…+ k + k+1)² (**)

Thật vậy:

Từ (*) và (**) ta có:

1³ + 2³ + 3³ +…+ k³ + (k + 1)³ = (1 + 2 + 3 +…+ k + k+1)²

⇔ (1 + 2 + 3 +…+ k)² + (k + 1)³ = (1 + 2 + 3 +…+ k + k+1)² (***)

Mặt khác ta có công thức tính tổng sau:

1 + 2 + 3 + 4 + … + k = \[ \frac{k(k + 1)}{2}\]. (Công thức này cũng được chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học, nhưng đơn giản hơn nhiều. Anh em qua bài này hãy tự chứng minh nhé).

Vậy (***) ⇔ \[ [\frac{k(k + 1)}{2}]^2\] + (k+1)³ = \[ [\frac{(k + 1)(k + 2)}{2}]^2\]. Ta chỉ cần chứng minh đẳng thức này đúng.

Ta có: A = \[ [\frac{k(k + 1)}{2}]^2\] + (k+1)³ = \[ [\frac{k(k + 1)}{2}]^2\] + \[ \frac{4(k + 1)^3}{4}\] = \[ {[\frac{(k + 1)}{2}]^2}[k^2 + 4(k + 1)]\]

A = \[ {[\frac{(k + 1)}{2}]^2}(k + 2)^2\] = \[ {[\frac{(k + 1)(k + 2)}{2}]^2}\]

Vậy ta đã chứng minh đẳng thức (**) là đúng, có nghĩa là đẳng thức đã cho đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lý quy nạp toán học ta có điều phải chứng minh.