Đề thi môn Toán vào lớp 10 năm 2020 – 2021 có đáp án (Trắc nghiệm – Tự luận – Đề 4)

Thời gian làm bài: 120 phút

Phần I. Trắc nghiệm (2 điểm)

Câu 1: Trong các đường thẳng sau đây, đường thẳng nào đi qua điểm A (1; 3):

A. x – y = 3     B. 2x + y =5

C. 2x – y = 3    D. x + y = 5

Câu 2: Điều kiện xác định của biểu thức  là:

A. x = -2018     B. x ≠ -2018

C. x ≥ -2018     D. x ≤ -2018

Câu 3: Tìm m để 2 đường thẳng sau cắt nhau tại 1 điểm y = (2m – 1)x + 7 và y = 3x – 5

A. m = 2     B. m ≠ 2    C. m ≥ 2    D. m ≤ 2

Câu 4: Tìm giá trị của a để đồ thị hàm số y = ax² đi qua điểm (1; – 4)

A. a = – 2     B. a = 2     C. a = 4    D. a = – 4

Câu 5: Biết phương trình x² + bx – 2b = 0 có một nghiệm x = -3. Tìm nghiệm còn lại của phương trình:

Câu 6: Trong các nhận xét sau, nhận xét đúng là:

A. Hai cung bằng nhau thì có số đo bằng nhau

B. Hai cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau

C. Cả a, b đều đúng

D. Cả a và b đều sai

Câu 7: Tính diện tích hình quạt có bán kính 6cm, độ dài cung là 5π cm

A. 10π cm²     B. 20π cm²    C.30π cm²    D. 15Bπ cm²

Câu 8: Tính diện tích toàn phần của hình nón có bán kính đáy 5 cm và độ dài đường sinh là 7 cm:

A. 35π cm²   B. 45π cm²    C. 52π cm²   D. 60π cm²

Phần II. Tự luận

Bài 1: (1,5 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình:

a) √5x – 2√5 = 0

b)3x² – 8x – 6 = 0

Bài 2: (2 điểm)

1) Cho 2 hàm số (P): y = 2x² và (d): y = -3x + 4

a) Vẽ 2 đồ thị trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy

b) Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị trên bằng phép tính.

2) Cho phương trình x² – 2(m – 1)x – 2m = 0.

Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. Gọi 2 nghiệm của phương trình là x1; x2, tìm tất cả giá trị của m sao cho x₁² + x₁ – x₂ = 5 – 2m

Bài 3: (1 điểm) Hai xe máy cùng xuất phát một lúc từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 30 km. Xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 5km/h nên đến B sớm hơn 5 phút. Tính vận tốc mỗi xe

Bài 4: (3,5 điểm) Trên đường tròn (O; R) đường kính AB lấy 2 điểm M, N theo thứ tự A, M, N, B ( hai điểm M, N khác 2 điểm A và B). Các đường thẳng AM và BN cắt nhau tại C, AN và BM cắt nhau tại D

a) Chứng minh tứ giác MCND nội tiếp. Xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác

b) Gọi H là giao điểm của CD và AB. Chứng minh rằng:

BN.BC = BH.BAv

c) Tính ∠IMO

d) Cho biết ∠BAM = 45^o; ∠BAN = 30^o. Tính theo R diện tích của tam giác ABC

Phần I. Trắc nghiệm

Phần II. Tự luận

Bài 1:

a) √5x – 2√5 = 0

⇔ √5x = 2√5

⇔ x = 2

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

b)3x² – 8x – 6 = 0

Δ’ = (-4)² – 3.(-6) = 34 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = 

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (1; 1)

Bài 2:

1) Cho 2 hàm số (P): y = x² và (d): y = -3x + 4

Xét hàm số: y = 2x²

Bảng giá trị

Đồ thị hàm số (P): y = x² là đường parabol nằm phía trên trục hoành, nhận trục Oy là trục đối xứng và nhận đỉnh O (0;0) làm điểm thấp nhất

Xét hàm số y = -3x + 4

Bảng giá trị

b) phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là

x² = – 3x + 4 ⇔ x² + 3x – 4 = 0

=> phương trình có nghiệm x = 1 và x = – 4 ( do phương trình có dạng a + b + c =0)

Với x = 1 thì y = 1

Với x = – 4 thì y = 16

Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (d) là (1; 1 ) và (-4; 16)

2) x² – 2(m – 1)x – 2m = 0.

Δ’= (m-1)² – (-2m) = m² + 1 > 0 ∀m

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Theo định lí Vi- ét ta có:

⇔ x₁² + x₁ – x₂ = 3 – (2m – 2)

⇔ x₁² + x₁ – x₂ = 3 – x₁ – x₂

⇔ x₁² + 2x₁ – 3 = 0

Với x₁ = 1 thay vào phương trình ban đầu tìm được m = 

Với x₁ = -3 thay vào phương trình ban đầu, tìm đc m = 

Vậy với m = 

Bài 3:

Gọi vận tốc xe thứ nhất là x ( km/h) (x > 5)

Vận tốc xe thứ hai là x – 5 (km/h)

Thời gian đi của xe thứ nhất là: 

Thời gian đi của xe thứ hai là 

Do xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai 5′ = 

Vậy vận tốc của xe thứ nhất là 45 km/h

Vận tốc xe thứ hai là 40 km/h

Bài 4:

a) Ta có:

∠AMB = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> ∠DMC = 90^o

∠ANB = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> ∠DNC = 90^o

Xét tứ giác MCND có:

∠DMC + ∠DNC = 90^o + 90^o = 180^o

=> Tứ giác MCDN là tứ giác nội tiếp

Do ∠DMC = 90^o nên DC là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN

Do đó tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác là trung điểm I của DC

b) Xét tam giác CAB có:

AN ⊥ BC

BM ⊥ AC

AN giao với BM tại H

=> H là trực tâm của tam giác CAB

=> CH ⊥ BA

Xét ΔCHB và ΔBNA có:

∠CBA là góc chung

∠CHB = ∠ANB = 90^o

=>ΔCHB ∼ ΔANB

c) Xét tam giác HDB vuông tại H có:

∠BDH + ∠DBH = 90^o (1)

Xét tam giác IDM cân tại I (ID = IM )

=> ∠IMD = ∠IDM

Mà ∠IDM = ∠BDH (đối đỉnh)

=> ∠IMD = ∠BDH (2)

Mặt khác tam giác OBM cân tại O ( OB = OM)

=> ∠OMB = ∠DBH (3)

Từ (1); (2) và (3)

=> ∠IMD + ∠OMB = ∠BDH + ∠DBH = 90^o

=> ∠IMO = 90^o

d) Xét tam giác BAN vuông tại N có:

∠NAB = 30^o => ∠NBA = 60^o

Xét tam giác CHB vuông tại H có ∠NBA = 60^o

=> BH = CH.cot60^o = 

Lại có: Tam giác CHA vuông tại H có ∠CAH = 45^o

=> Tam giác CHA vuông cân tại H => CH = HA

Ta có:

AB = HA + HB = CH + 

Diện tích tam giác ABC là:

S_ABC = CH.AB = .R√3(√3-1).2R = R².√3(√3-1) (dvdt)