Dùng hai công thức tính diện tích tam giác và tính chất chia hết, bạn có thể xác định các yếu tố trong tam giác, từ đó dùng nguyên lý đếm để giải mã yêu cầu bài toán.

Đề bài:

Một két sắt có mật mã gồm 7 chữ số được ẩn giấu trong các đại lượng của “Tam giác vàng ABC”. Biết độ dài 3 cạnh của “Tam giác vàng ABC” là 3 số nguyên dương và đường tròn đi qua 3 đỉnh A, B, C có bán kính là 3,125.

1. Xác định độ dài 3 cạnh, chu vi và diện tích của “Tam giác vàng ABC”.

2. Giả sử mật mã két sắt gồm 7 ô chứa dữ liệu của “Tam giác vàng ABC”, mỗi ô chứa đúng 1 chữ số trong đó 3 ô liên tiếp chứa 3 chữ số biểu thị độ dài 3 cạnh, 2 ô liên tiếp chứa 2 chữ số biểu thị chu vi và 2 ô liên tiếp chứa 2 chữ số biểu thị diện tích (các số biểu thị đều đọc từ trái sang phải). Nếu biết kết quả đúng của câu 1 và cứ sau 1 phút nhập được đúng một mật mã hợp lệ gồm 7 chữ số thì sau tối đa bao nhiêu phút két sẽ được mở?

 

Hướng dẫn giải:

1. Giả sử tam giác ABC có diện tích S, độ dài 3 cạnh là a, b, c còn p là nửa chu vi và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ta có S = (abc)/4R = (abc)/12,5 hay
25S = 2abc. Từ đó S là số nguyên chia hết cho 2 còn (abc) chia hết cho 25.

Mặt khác, trong đường tròn đường kính là dây lớn nhất hay
Max{a,b,c} ≤ 2R = 6,25 nên khi kết hợp với a, b, c nguyên dương dẫn đến trong ba cạnh a, b, c luôn có 2 cạnh có độ dài bằng 5.

Không mất tính tổng quát giả sử a = b = 5, khi đó 25S = 50c hay S = 2c.

Sử dụng công thức Hê-rông tính diện tích tam giác ta có:

16S2 = 16p(p–a)(p–b)(p–c) = 2p(2(p–a))(2(p–b))(2(p–c))

16S2 = (b+c+a)(b+c–a)(c+a–b)(a+b–c) = (10+c)(10–c)c2

64c2 = (100–c2 )c2 hay 64 =100–c2 tức là c = 6.

Vậy tam giác ABC có độ dài ba cạnh (a, b, c) là một hoán vị của (5, 5, 6), có chu vi là 16 và có diện tích là S = 2c = 12.

2. Với quy tắc đọc các chữ số biểu thị theo chiều từ trái sang phải, trong đó chú ý tính thứ tự khi đọc số có 2 chữ số chu vi là 16 và diện tích là 12, từ 7 ô trống của mật mã ta có 3 cách chọn vị trí cho bộ 3 số (5, 5, 6) là độ dài của 3 cạnh, mỗi vị trí có 3 cách hoán vị là (5, 5, 6); (5, 6, 5); (6, 5, 5) và sau đó có 2 cách chọn vị trí các số biểu thị chu vi 12 và diện tích 16.

Do đó, số cách chọn của dãy 7 chữ số biểu thị mật mã từ “Tam giác vàng ABC” là 3x3x2 = 18 (cách). Mỗi một lần giải mã mất 1 phút nên sau tối đa 18 phút thì ổ khóa được mở.

Trần Phương